metodos de resolucion de Ecuaciones de segundo grado

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:

• Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
• Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.
• Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.
• Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.
• Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
• Después se despeja X en los dos factores.
• Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.
• Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:

x2 - 28x + 187 = 0

(X ) (X ) = 0

(X - ) (X ) = 0

(X - ) (X - ) = 0

187 11

17 17

1

(X - 17) (X - 11) = 0

X - 17 = 0 X - 11 = 0

X1 = 17 X2= 11

 FORMULA GENERAL

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:

• En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:

-b + b2 - 4 a c

2a

• Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.
• Un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática por este método es el siguiente:

x2 - 28x + 187 = 0

a = 1 b = -28 c = 187

- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)

2 (1)

28+ 784 - 748

2

28+ 36

2

28+ 6

2

28+ 6 34 X1 = 17

2 2

28- 6 22 X2 =11 2 2

X1, y X2, son el resultado que se obtuvo de la ecuación, por tanto son las dos posibles soluciones para X.

COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Para comprender mejor este método, consideremos primero la ecuación del tipo: X2 + bx + c = 0, podemos escribir esta ecuación del siguiente modo: X 2 + bx = -c. Si observamos el primer miembro veremos que al binomio X2 + bx le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto. Tal término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (b/2)2, o lo que es lo mismo b2/4.

En efecto, formamos así un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x; su segundo término es el doble producto de x por b/2; y su tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (b/2)2 o sea b2/4. Para que no se altere la ecuación le agregamos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro.

Así tendremos: X2 + bx + (b2/4) = b2/4) - c. En el primer miembro de esta ecuación tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

Factoramos: (x+b/2)2 = b2/4 - c. Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros:

(x+b/2)2 = + b2/4 - c

x + b/2 = + b2/4 - c

X = - b/2 + b2/4 - c

MÉTODO GRÁFICO

Para poder llegar a la solución de una ecuación cuadrática por el método gráfico es necesario seguir los siguientes pasos:

• Se iguala la ecuación a Y.
• Se hace una tabla para poder encontrar los valores de Y, sustituyendo en la ecuación los valores que nosotros le demos a X. Los cuales son recomendables que sean números positivos y negativos.
• Una vez encontradas los valores de X y Y sé grafican.
• El resultado será aquellos puntos que toque el eje de las X.

Por ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el método gráfico.

x2 - 28x + 187 = 0

x2 - 28x + 187 = 0

Ahora se sustituyen en la ecuación los valores que le dimos a X, para poder encontrar los valores de Y.

(7)2 - 28(7) + 187 = 40

(8)2 - 28(8) + 187 =27

(9)2 - 28(9) + 187 =16

(10)2 - 28 (10) + 187 =7

(11)2 - 28 (11) + 187 =0

(12)2 - 28 (12) + 187 =-5

(13)2 - 28 (13) + 187 =-8

(14)2 - 28 (14) + 187 =-9

(15)2 - 28 (15) + 187 =-8

(16)2 - 28 (16) + 187 =-5

(17)2 - 28 (17) + 187 =0

(18)2 - 28 (18) + 187 =7

(19)2 - 28 (19) + 187 =16

(20)2 - 28 (20) + 187 =27

Ahora con estos valores se pasa a graficar para ver cuales son los valores que pasan por el eje de las x.

Como se puede ver los valores que cruzan el eje de las x es 11 y 17, por tanto X1 = 11 y X2 = 5.

Fuentes:

http://html.rincondelvago.com/factorizacion_2.html

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación    x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

                                 ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.
 
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x² + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3x²  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x² + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
 
Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

fuentes:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA ECUACIONES 3 X 3 POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

Para ver en que consiste este método, se propone resolver el siguiente problema:

 Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 
La primera ecuación es: 1)2 x-2y+z=6, la segunda ecuación es: 2) x+y-2z=-4 y la tercera ecuación es: 3)3x-y+z=6.

Para resolver este sistema de ecuaciones por este método lo primero que debemos hacer es seleccionar un par de ecuaciones y posteriormente reducir a alguna de las incógnitas.

 Como vemos en el video, se seleccionan las ecuaciones 

1) y 2) y se reducirá a la letra x, para reducir a la x lo que tenemos que hacer es multiplicar a la ecuación 2) por -2 y luego a este resultado sumarle la ecuación 1),
 al efectuar estas operaciones vemos que se elimina la x y nos queda la siguiente expresión: 

-4y+5z=14, 


nombremos esta ecuación como 4), una vez hecho esto, lo que debemos hacer es formar otra ecuación que quede en términos de y y de z, 
para conseguir esto procedemos nuevamente a usar el método de eliminación, esta vez podemos hacer el método seleccionando las ecuaciones 1) y 3) ó las ecuaciones 2) y 3), 

 se seleccionan las ecuaciones 1) y 3) y se reducirá igualmente la letra x, para reducir a la x lo que tenemos que hacer es multiplicar a la ecuación 1) por 3 y multiplicar a la ecuación 3) por -2 y luego sumar los resultados de estas respectivas operaciones, al efectuar las multiplicaciones y sumar los resultados, 

vemos que se elimina la x y nos queda la siguiente expresión

: -4y+z=6, nombremos esta ecuación como 5), como vemos la ecuación 4) y 5) forman un sistema de ecuaciones de 2X2 que se puede resolver utilizando una vez más el método de reducción, si multiplicamos la ecuación 4) por -1 y la sumamos con la ecuación 5) vemos que se cancela la letra y y obtenemos el valor de z=-2, si sustituimos este valor en la ecuación 4) o 5) obtenemos que y= -1, como ya tenemos el valor de y y z podemos encontrar el valor de x reemplazando estos valores en la ecuación 1), 2) ó 3), reemplazando los valores de x y y tenemos que x=1.

fuente:
 http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Algebra-Elemental/Solucion-de-un-sistema-ecuaciones-3-x-3-por-el-metodo-de-reduccion

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA ECUACIONES 3 X 3 POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para ver en qué consiste este método, se propone resolver el siguiente problema:
  Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
 La primera ecuación es:
1) 2 x-y+z=-3, la segunda ecuación es: 
2) 3x+2y-z=1 y la tercera ecuación es: 
3) x-3y+2z=-6. 


Para resolver este sistema de ecuaciones por este método lo primero que debemos hacer es despejar una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones, en nuestro caso despejaremos la incógnita z de la ecuación 


1) , como vemos al despejar a z de 1) tenemos que: z=-3-2x+

y, nombremos esta ecuación como 4),


 una vez hecho esto lo que debemos hacer es sustituir a z en las otras dos ecuaciones que no hemos utilizado, es decir en la ecuación 2) y en la ecuación 3), al sustituir a z en la ecuación 2) tenemos que: 


3x+2y-(-3-2x+y)=1 , 


simplificando esta expresión, tenemos: 5x+y=-2,

 nombremos esta ecuación como
 5), al sustituir el valor de z en la ecuación 3) tenemos que: x-3y+2(-3-2x+y)=-61, simplificando esta expresión, tenemos:
 -3x-y=0, nombremos esta ecuación como

 6), como vemos lo que tenemos ahora es dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que debemos hacer ahora es utilizar nuevamente la sustitución en este sistema para resolver así el sistema de ecuaciones en su totalidad, entonces, despejando a y de la ecuación 


5) tenemos que: y=-2-5x, nombremos esta ecuación como 7), si sustituimos a 7) en la ecuación 6) tenemos que: 
-3x-(-2-5x)=0 , simplificando esta expresión vemos que obtenemos el valor de x=-1, con este valor de x podemos encontrar el valor de y si sustituimos este resultado en la ecuación 7) , reemplazando el valor de x en esta ecuación tenemos que y= 3, como ya tenemos el valor de x y y podemos encontrar el valor de z reemplazando estos valores en la ecuación 4), si reemplazamos los valores de x y y en 4) tenemos que z=2.

fuentes:
https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&cad=rja&ved=0CGcQFjAH&url=http%3A%2F%2Faula.tareasplus.com%2FRoberto-Cuartas%2FAlgebra-Elemental%2FSolucion-de-un-sistema-ecuaciones-3-x-3-por-el-metodo-de-sustitucion&ei=c-XJUq3XF8i92gW7sIH4BA&usg=AFQjCNEOdnUTB-y30FBA80B4Em9HX4E1DA&sig2=piCNaVYGVMYeZ4s8_5KUMw&bvm=bv.58187178,d.b2I

resolución grafica de sistemas de ecuaciones

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   x + y = 600
2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

      y = -x + 600
y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600		y = 2x
x	y	x	y
200	400	100	200
600	0	200	400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

fuente:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/grafico.html

Metodo de determinantes

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

restando ambas ecuaciones tenemos

Ahora eliminemos la variable x

restando ambas ecuaciones

Multiplicando por -1 numerador y denominador

Llamando determinante a la siguiente expresión

tenemos que:

y

Ejemplo:

Determinante principal

Determinante de x

Determinante de y

Finalmente

fuente:

http://www.roberprof.com/2009/10/19/metodo-de-determinantes/

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo: 

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

fuentes:

http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/reso_2.html

Sistemas de ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:

Una solución	No hay solución	Soluciones infinitas
Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones.

Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:

Una solución	No hay solución	Dos soluciones
Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.	Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones.

No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa.

Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).

Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.

Ejemplos
Problema	Resolver el sistema graficando las ecuaciones       y
			Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección
Solución	Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22)

Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta.

Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por sustitución, seguimos los siguientes pasos: 

1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y una variable que sea fácil de despejar).
2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta variable aparezca.
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable.

Ejemplo
Problema	Resolver el sistema usando el método de sustitución  y
				En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar
				Restar 3x de ambos lados y restar 7 de ambos lados.  Ahora queda una ecuación cuadrática igual a 0 por lo que podemos usar la fórmula cuadrática, , para encontrar la solución
				a = 1,  b = -3, y c = -12
				Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula
				Simplificar
o				Simplificar un poco más, recordando evaluar ambos  y .
				Evaluar cualquiera de las funciones con cada x para encontrar el valor dey correspondiente
Solución	(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)

Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta!

Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales.

Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):

Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana.

Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.                   y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4 A) una solución B) dos soluciones C) no hay solución D) soluciones infinitas Mostrar/Ocultar la Respuesta

Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas

Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no).

Una solución	No hay solución
Dos ecuaciones cuadráticas que tienen sólo un punto en común, como un vértice compartido, tienen una solución.	Dos ecuaciones cuadráticas que no se superponen (no tienen valores comunes de y) no tienen solución.
Dos soluciones	Soluciones infinitas
Dos ecuaciones cuadráticas que se superponen pero tienen ecuaciones diferentes tienen dos soluciones	Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones válidas para ambas ecuaciones.

fuentes 

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T2_text_final_es.html