Matematicas Ist Krieg: Metodo de determinantes

domingo, 5 de enero de 2014

Metodo de determinantes

Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $(x,y)$

$left{begin{array}{c}ax+by=r\cx+dy=send{array}right.$

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

$adx+bdy=rd$

$bcx+bdy=bs$

restando ambas ecuaciones tenemos

$(ad-bc)x=rd-bs$

$displaystyle x=frac{rd-bs}{ad-bc}$

Ahora eliminemos la variable x

$acx+bcy=br$

$acx+ady=as$

restando ambas ecuaciones

$(bc-ad)y=rb-as$

$displaystyle x=frac{br-as}{bc-ad}$

Multiplicando por -1 numerador y denominador

$displaystyle x=frac{as-br}{ad-bc}$

Llamando determinante a la siguiente expresión

$Delta=leftvertbegin{array}{cc}x_1 & x_2 \x_3 & x_4end{array}rightvert=x_1.x_4-x_2.x_3$

tenemos que:

$x=frac{Delta x}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}r & b \s& dend{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}$

y

$y=frac{Delta y}{Delta}=frac{leftvertbegin{array}{cc}a & r \c& send{array}rightvert}{leftvertbegin{array}{cc}a & b \c & dend{array}rightvert}=frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}$

Ejemplo:

$left{begin{array}{ccc}2x+y&=&1\x-y&=&2end{array}right.$

Determinante principal

$Delta=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&-1end{array}rightvert=2.(-1)-1.1=-3$

Determinante de x

$Delta x=leftvertbegin{array}{cc}1&1\2&-1end{array}rightvert=1.(-1)-1.2=-3$

Determinante de y

$Delta y=leftvertbegin{array}{cc}2&1\1&2end{array}rightvert=2.2-1.1=3$

Finalmente

$displaystyle x=frac{Delta x}{Delta}=frac{-3}{-3}=1$

$displaystyle y=frac{Delta y}{Delta}=frac{3}{-3}=-1$

fuente:

http://www.roberprof.com/2009/10/19/metodo-de-determinantes/

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